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专题01 集合与常用逻辑用语 -三年(2017-2019)高考真题数学(理)分项汇编 Word版含解析_高考_高中教育_教育专区

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专题 01 集合与常用逻辑用语 1.【2019 年高考全国Ⅰ卷理数】已知集合 M ? {x | ?4 ? x ? 2}, N ? {x | x2 ? x ? 6 ? 0},则 M N = A.{x ?4 ? x ?3? B.{x ?4 ? x ??2? C.{x ?2 ? x ?2? D.{x 2 ? x ?3? 【答案】C 【解析】由题意得 M ? {x | ?4 ? x ? 2}, N ? {x | x2 ? x ? 6 ? 0} ? {x | ?2 ? x ? 3} , 则 M N ? {x | ?2 ? x ? 2}. 故选 C. 【名师点睛】注意区分交集与并集的不同,交集取公共部分,并集包括二者所有的部分. 2.【2019 年高考全国Ⅱ卷理数】设集合 A={x|x2–5x+6>0},B={x|x–1<0},则 A∩B= A.(–∞,1) B.(–2,1) C.(–3,–1) D.(3,+∞) 【答案】A 【解析】由题意得, A ? {x | x2 ? 5x ? 6 ? 0} ? {x | x ? 2 或 x ? 3}, B ? {x | x ?1 ? 0} ? {x | x ? 1},则 A B ? {x | x ? 1} ? (??,1) . 故选 A. 【名师点睛】本题考点为集合的运算,为基础题目. 3.【2019 年高考全国Ⅲ卷理数】已知集合 A ? {?1, 0,1, 2}, B ? {x | x2 ? 1},则 A B ? A. ??1, 0,1? B.?0,1? C.??1,1? D.?0,1, 2? 【答案】A ? ? 【解析】∵ x2 ? 1, ∴ ?1? x ?1,∴ B ? x ?1? x ?1 , 又 A ? {?1,0,1, 2} ,∴ A B ? ??1,0,1?. 故选 A. 【名师点睛】本题考查了集合交集的求法,是基础题. 4.【2019 年高考天津理数】设集合 A ? {?1,1, 2,3,5}, B ? {2,3, 4},C ? {x ? R |1 ? x ? 3},则 (A C) B ? A.?2? B. ?2, 3? C.??1, 2,3? D.?1, 2,3, 4? 【答案】D 【解析】因为 A C ? {1, 2} ,所以 (A C) B ? {1, 2,3, 4}. 故选 D. 【名师点睛】集合的运算问题,一般要先研究集合中元素的构成,能化简的要先化简,同时注意数形结 合,即借助数轴、坐标系、韦恩图等进行运算. 5.【2019 年高考浙江】已知全集U ? ??1,0,1, 2,3?,集合 A ? ?0,1, 2? , B ? ??1,0,1? ,则 (?U A) B = A.??1? B.?0,1? C.??1, 2,3? D. ??1, 0,1, 3? 【答案】A ? ? 【解析】∵ ?U A ? { ?1,3},∴ ?U A B ? {?1}. 故选 A. 【名师点睛】注意理解补集、交集的运算. 6.【2019 年高考浙江】若 a>0,b>0,则“a+b≤4”是 “ab≤4”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】当 a > 0, b > 0 时, a ? b ? 2 ab ,则当 a ? b ? 4时,有 2 ab ? a ? b ? 4 ,解得 ab ? 4 ,充 分性成立; 当 a=1, b=4 时,满足 ab ? 4 ,但此时 a+b=5>4,必要性不成立, 综上所述,“ a ? b ? 4”是“ ab ? 4 ”的充分不必要条件. 故选 A. 【名师点睛】易出现的错误:一是基本不等式掌握不熟练,导致判断失误;二是不能灵活地应用“赋值 法”,通过取 a, b 的特殊值,从假设情况下推出合理结果或矛盾结果. 7.【2019 年高考天津理数】设 x ?R ,则“ x2 ? 5x ? 0 ”是“| x ?1|? 1”的 A.充分而不必要条件 C.充要条件 【答案】B B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 【解析】由 x2 ? 5x ? 0 可得 0 ? x ? 5 ,由| x ?1|? 1可得 0 ? x ? 2, 易知由 0 ? x ? 5 推不出 0 ? x ? 2, 由 0 ? x ? 2能推出 0 ? x ? 5 , 故 0 ? x ? 5 是 0 ? x ? 2的必要而不充分条件, 即“ x2 ? 5x ? 0 ”是“| x ?1|? 1”的必要而不充分条件. 故选 B. 【名师点睛】本题考查充分必要条件,解题的关键是由所给的不等式得到 x 的取值范围. 8.【2019 年高考全国Ⅱ卷理数】设 α,β 为两个平面,则 α∥β 的充要条件是 A.α 内有无数条直线与 β 平行 B.α 内有两条相交直线与 β 平行 C.α,β 平行于同一条直线 D.α,β 垂直于同一平面 【答案】B 【解析】由面面平行的判定定理知:? 内有两条相交直线都与 ? 平行是?∥? 的充分条件; 由面面平行的性质定理知,若?∥? ,则? 内任意一条直线都与 ? 平行,所以? 内有两条相交直线都与 ? 平行是?∥? 的必要条件. 故 α∥β 的充要条件是 α 内有两条相交直线与 β 平行. 故选 B. 【名师点睛】面面平行的判定问题要紧扣面面平行的判定定理,最容易犯的错误为定理记不住,凭主观 臆断. 9.【2019 年高考北京理数】设点 A,B,C 不共线,则“ AB 与 AC 的夹角为锐角”是“| AB ? AC |?| BC | ” 的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】∵A?B?C 三点不共线,∴| AB + AC |>| BC | ? | AB + AC |>| AC - AB | ? | AB + AC |2>| AC - AB |2 ? AB · AC >0 ? AB 与 AC 的夹角为锐角, 故“ AB 与 AC 的夹角为锐角”是“| AB + AC |>| BC |”的充分必要条件. 故选 C. 【名师点睛】本题考查充要条件的概念与判断?平面向量的模?夹角与数量积,同时考查了转化与化归的 数学思想. 10.【2018 年高考浙江】已知全集 U={1,2,3,4,5},A={1,3},则 ?U A= A. ? C.{2,4,5} 【答案】C 【解析】因为全集 B.{1,3} D.{1,2,3,4,5} , , 所以根据补集的定义得 . 故选 C. 【名师点睛】若集合的元素已知,则求集合的交集、并集、补集时,可根据交集、并集、补集的定义 求解. ? ? 11.【2018 年高考全国Ⅰ卷理数】已知集合 A ? x x2 ? x ? 2 ? 0 ,则 ?R A ? A.?x ?1? x ? 2? B.?x ?1? x ? 2? C.?x | x ? ?1? ?x | x ? 2? D.?x | x ? ?1? ?x | x ? 2? 【答案】B 【解析】解不等式 得 或 ,所以 或 , 所以可以求得 ?R A ? ?x | ?1? x ? 2? . 故选 B. 【名师点睛】该题考查的是有关一元二次不等式的解法以及集合的补集的求解问题,在解题的过程中, 需要明确一元二次不等式的解集的形式以及补集中元素的特征,从而求得结果. 12.【2018 年高考全国Ⅲ卷理数】已知集合 A ? ?x | x ?1≥ 0? , B ? ?0,1,2? ,则 A B ? A. ?0? B. ?1? C. ?1,2? 【答案】C 【解析】易得集合 A ? {x | x ? 1}, D.?0 ,1,2? 所以 A B ? ?1, 2?. 故选 C. 【名师点睛】本题主要考查交集的运算,属于基础题. 13.【2018 年高考天津理数】设全集为 R,集合 A ? {x 0 ? x ? 2}, B ? {x x ?1} ,则 A I (?R B) ? A.{x 0 ? x ?1} B.{x 0 ? x ?1} C.{x 1? x ? 2} D.{x 0 ? x ? 2} 【答案】B 【解析】由题意可得: ?R B , 结合交集的定义可得: A I (?R B) ? . 故选 B. 【名师点睛】本题主要考查交集的运算法则,补集的运算法则等知识,意在考查学生的转化能力和计 算求解能力. ? ? 14.【2018 年高考全国Ⅱ卷理数】已知集合 A ? ? x ,y? x2 ? y2≤3,x ?Z,y ?Z ,则 A 中元素的个数为 A.9 C.5 B.8 D.4 【答案】A 【解析】 , 当 时, ; 当 时, ; 当 时, , 所以共有 9 个元素. 选 A. 【名师点睛】本题考查集合与元素的关系,点与圆的位置关系,考查学生对概念的理解与识别. 15.【2018 年高考北京理数】已知集合 A={x||x|<2},B={–2,0,1,2},则 A B= A.{0,1} B.{–1,0,1} C.{–2,0,1,2} D.{–1,0,1,2} 【答案】A 【解析】 , , 因此 A B= . 故选 A. 【名师点睛】解决集合问题时,认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求 解的两个先决条件. 16.【2018 年高考浙江】已知平面 α,直线 m,n 满足 m ? α,n ? α,则“m∥n”是“m∥α”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】因为 ,所以根据线面平行的判定定理得 . 由 不能得出 与 内任一直线平行, 所以 是 的充分不必要条件. 故选 A. 【名师点睛】充分、必要条件的三种判断方法: (1)定义法:直接判断“若 则 ”、“若 则 ”的真假.并注意和图示相结合,例如“ ? ”为真,则 是 的 充分条件. (2)等价法:利用 ? 与非 ?非 , ? 与非 ?非 , ? 与非 ?非 的等价关系,对于条件或结论 是否定式的命题,一般运用等价法. (3)集合法:若 ? ,则 是 的充分条件或 是 的必要条件;若 = ,则 是 的充要条件. 17.【2018 年高考天津理数】设 x ?R ,则“| x ? 1 |? 1 ”是“ x3 ? 1”的 22 A.充分而不必要条件 C.充要条件 【答案】A B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 【解析】绝对值不等式 ? ? , 由 ? . 据此可知 是 的充分而不必要条件. 故选 A. 【名师点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法、充分不必要条件的判断等知识,意在考查学生的转 化能力和计算求解能力. 18.【2018 年高考北京理数】设 a,b 均为单位向量,则“ a ? 3b ? 3a ? b ”是“a⊥b”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 a ? 3b ? 3a ? b ? a ? 3b 2 ? 3a ? b 2 ? a2 ? 6a ?b ? 9b2 ? 9a2 +6a ?b ? b2 , 因为 a,b 均为单位向量,所以 a2 ? 6a ? b ? 9b2 ? 9a2 +6a ? b ? b2 ? a ? b = 0 ? a ? b , 即“ a ? 3b ? 3a ? b ”是“a⊥b”的充分必要条件. 故选 C. 【名师点睛】充分、必要条件的三种判断方法: 1.定义法:直接判断“若 则 ”、“若 则 ”的真假.并注意和图示相结合,例如“ ? ”为真,则 是 的 充分条件. 2.等价法:利用 ? 与非 ?非 , ? 与非 ?非 , ? 与非 ?非 的等价关系,对于条件或结论是 否定式的命题,一般运用等价法. 3.集合法:若 ? ,则 是 的充分条件或 是 的必要条件;若 = ,则 是 的充要条件. 19.【2017 年高考全国Ⅰ卷理数】已知集合 A={x|x<1},B={x| 3x ? 1 },则 A. A B ? {x | x ? 0} B. A B ? R C. A B ? {x | x ?1} D. A B ? ? 【答案】A 【解析】由 3x ? 1可得 3x ? 30 ,则 x ? 0 ,即 B ? {x | x ? 0}, 所以 A B ? {x | x ?1} {x | x ? 0} ? {x | x ? 0}, A B ? {x | x ? 1} {x | x ? 0} ? {x | x ?1} . 故选 A. 【名师点睛】对于集合的交、并、补运算问题,应先把集合化简再计算,常常借助数轴或韦恩图处理. ? ? 20.【2017 年高考全国Ⅱ卷理数】设集合 A ? ?1, 2, 4? ,B ? x x2 ? 4x ? m ? 0 .若 A B ? ?1? ,则 B ? A. ?1, ?3? B. ?1, 0? C.?1,3? 【答案】C 【解析】由 A B ? ?1? 得1?B , D.?1,5? 即 x ?1是方程 x2 ? 4x ? m ? 0 的根,所以1? 4 ? m ? 0, m ? 3 , B ? ?1,3? . 故选 C. 【名师点睛】集合中元素的三个特性中的互异性对解题影响较大,特别是含有字母的集合,在求出字 母的值后,要注意检验集合中的元素是否满足互异性.两个防范:①不要忽视元素的互异性;②保证 运算的准确性. ? ? ? ? 21.【2017 年高考全国Ⅲ卷理数】已知集合 A= (x, y│) x2 ? y2 ? 1 ,B= (x, y│) y ? x ,则 A B 中元素 的个数为 A.3 C.1 【答案】B 【解析】集合中的元素为点集, B.2 D.0 由题意,可知集合 A 表示以 ?0,0? 为圆心,1为半径的单位圆上所有点组成的集合, 集合 B 表示直线 y ? x 上所有的点组成的集合, ? 又圆 x2 ? y2 ? 1与直线 y ? x 相交于两点 ??? 2, 2 2 2 ? ??? , ? ??? ? 2 ,? 2 2 2 ? ??? , 则 A B 中有 2 个元素. 故选 B. 【名师点睛】求集合的基本运算时,要认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合,这 是正确求解集合运算的两个先决条件.集合中元素的三个特性中的互异性对解题影响较大,特别是含有 字母的集合,在求出字母的值后,要注意检验集合中的元素是否满足互异性. 22.【2017 年高考北京理数】若集合 A={x|–2<x<1},B={x|x<–1 或 x>3},则 A B= A.{x|–2<x<–1} B.{x|–2<x<3} C.{x|–1<x<1} D.{x|1<x<3} 【答案】A ? ? 【解析】利用数轴可知 A B ? x ?2 ? x ? ?1 . 故选 A. 【名师点睛】集合分为有限集合和无限集合,若集合个数比较少时可以用列举法表示;若集合是无限 集合就用描述法表示,并注意代表元素是什么.集合的交、并、补运算问题,应先把集合化简再计算, 常常借助数轴或韦恩图进行处理. 23.【2017 年高考浙江】已知集合 P ? {x | ?1 ? x ? 1}, Q ? {0 ? x ? 2} ,那么 P Q ? A. (?1, 2) B. (0,1) C. (?1, 0) D. (1, 2) 【答案】A 【解析】利用数轴,取 P,Q 中的所有元素,得 P Q ? (?1, 2) . 故选 A. 【名师点睛】对于集合的交、并、补运算问题,应先把集合化简再计算,常常借助数轴或韦恩图处理. 24.【2017 年高考天津理数】设集合 A ? {1, 2, 6}, B ? {2, 4},C ? {x ? R | ?1 ? x ? 5},则 (A B) C ? A.{2} B.{1, 2, 4} C.{1, 2, 4,6} D.{x ? R | ?1 ? x ? 5} 【答案】B 【解析】 (A B) C ? {1, 2, 4, 6} [?1,5] ? {1, 2, 4}. 故选 B. 【名师点睛】集合的运算问题,一般要先研究集合中元素的构成,能化简的要先化简,同时注意数形 结合,即借助数轴、坐标系、韦恩图等进行运算. 25.【2017 年高考山东理数】设函数 y ? 4 ? x2 的定义域为 A ,函数 y ? ln(1? x) 的定义域为 B ,则 A B= A.(1,2) B. (1, 2] C.(-2,1) D.[-2,1) 【答案】D 【解析】由 4 ? x2 ? 0 得 ?2 ? x ? 2 , 由1? x ? 0 得 x ?1, 故 A B ? {x | ?2 ? x ? 2} {x | x ?1} ? {x | ?2 ? x ?1}. 选 D. 【名师点睛】集合的交、并、补运算问题,应把集合先化简再计算,常借助数轴或韦恩图进行求解. 26.【2017 年高考浙江】已知等差数列{an}的公差为 d,前 n 项和为 Sn,则“d>0”是“S4 + S6>2S5”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】由 S4 ? S6 ? 2S5 ? 10a1 ? 21d ? 2(5a1 ?10d ) ? d , 可知当 d ? 0 时,有 S4 ? S6 ? 2S5 ? 0 ,即 S4 ? S6 ? 2S5 , 反之,若 S4 ? S6 ? 2S5 ,则 d ? 0 , 所以“d>0”是“S4 + S6>2S5”的充分必要条件. 故选 C. 【名师点睛】本题考查等差数列的前 n 项和公式,通过套入公式与简单运算,可知 S4 ? S6 ? 2S5 ? d , 结合充分必要性的判断,若 p ? q ,则 p 是 q 的充分条件,若 p ? q ,则 p 是 q 的必要条件,该题 “ d ? 0 ” ? “ S4 ? S6 ? 2S5 ? 0 ”,故互为充要条件. 27.【2017 年高考北京理数】设 m,n 为非零向量,则“存在负数 ? ,使得 m ? ?n ”是“ m ? n < 0”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】若 ?? ? 0 ,使 m ? ?n ,则两向量 m,n 反向,夹角是180? , 那么 m ? n ? m n cos180? ? ? m n ? 0; 若 m ? n ? 0 ,那么两向量的夹角为 ?90?,180??,并不一定反向, 即不一定存在负数 ? ,使得 m ? ?n , 所以“存在负数 ? ,使得 m ? ?n ”是“ m ? n < 0”的充分而不必要条件. 故选 A. 【名师点睛】本题考查平面向量的知识及充分必要条件的判断,若 p ? q ,则 p 是 q 的充分条件,若 p ? q ,则 p 是 q 的必要条件. 28.【2017 年高考山东理数】已知命题 p:?x ? 0, ln(x ?1) ? 0 ;命题 q:若 a>b,则 a2 ? b2 ,下列命题 为真命题的是 A. p ? q C. ?p ? q 【答案】B B. p ? ?q D. ?p ? ?q 【解析】由 x ? 0 时 x ?1 ?1, 得 ln(x ?1) ? 0 ,知 p 是真命题. 由 ?1 ? ?2, 但 (?2)2 ? (?1)2 可知 q 是假命题, 则 p ? ?q 是真命题. 故选 B. 【名师点睛】解答有关逻辑联结词的相关问题,首先要明确各命题的真假,利用或、且、非的真值表, 进一步作出判断. 29.【2017 年高考全国Ⅰ卷理数】设有下面四个命题 p1 :若复数 z 满足 1 z ? R ,则 z ? R ; p2 :若复数 z 满足 z2 ?R ,则 z ?R ; p3 :若复数 z1, z2 满足 z1z2 ? R ,则 z1 ? z2 ; p4 :若复数 z ?R ,则 z ?R . 其中的真命题为 A. p1, p3 B. p1, p4 C. p2 , p3 D. p2 , p4 【答案】B 【解析】令 z ? a ? bi(a,b ? R) ,则由 1 z ? a 1 ? bi ? a ? bi a2 ? b2 ?R 得b ? 0 ,所以 z?R ,故 p1 正确; 当 z ? i 时,因为 z2 ? i2 ? ?1?R ,而 z ? i ?R 知,故 p2 不正确; 当 z1 ? z2 ? i 时,满足 z1 ? z2 ? ?1? R ,但 z1 ? z2 ,故 p3 不正确; 对于 p4 ,因为实数的共轭复数是它本身,也属于实数,故 p4 正确. 故选 B. 【名师点睛】分式形式的复数,分子、分母同乘以分母的共轭复数,化简成 z ? a ? bi(a,b ? R) 的形式 进行判断,共轭复数只需实部不变,虚部变为原来的相反数即可. 30.【2019 年高考江苏】已知集合 A ? {?1, 0,1, 6}, B ? {x | x ? 0, x ? R},则 A B ? ▲ . 【答案】{1,6} 【解析】由题意利用交集的定义求解交集即可. 由题意知, A B ? {1, 6} . 【名师点睛】本题主要考查交集的运算,属于基础题. 31.【2018 年高考江苏】已知集合 , ,那么 【答案】{1,8} 【解析】由题设和交集的定义可知: . 【名师点睛】本题考查交集及其运算,考查基础知识,难度较小. ________. 32.【2017 年高考江苏】已知集合 A ? {1, 2}, B ? {a, a2 ? 3} ,若 A B ? {1} ,则实数 a 的值为 ▲ . 【答案】1 【解析】由题意1?B ,显然 a2 ? 3 ? 3 ,所以 a ?1, 此时 a2 ? 3 ? 4 ,满足题意. 故答案为 1. 【名师点睛】(1)认清元素的属性.解决集合问题时,认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情 形)和化简集合是正确求解的两个先决条件. (2)注意元素的互异性.在解决含参数的集合问题时,要注意检验集合中元素的互异性,否则很可能 会因为不满足“互异性”而导致错误. (3)防范空集.在解决有关 A B ? ?, A ? B 等集合问题时,往往容易忽略空集的情况,一定要先考 虑 ? 时是否成立,以防漏解. 33.【2018 年高考北京理数】能说明“若 f(x)>f(0)对任意的 x∈(0,2]都成立,则 f(x)在[0,2] 上是增函数”为假命题的一个函数是__________. 【答案】 f (x) ? ?(x ? 3)2 (答案不唯一) 2 【解析】对于 f (x) ? ?(x ? 3)2 ,其图象的对称轴为 x ? 3 , 2 2 则 f(x)>f(0)对任意的 x∈(0,2]都成立, 但 f(x)在[0,2]上不是单调函数. 【名师点睛】解题本题需掌握充分必要条件和函数的性质,举出反例即可.
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授业解惑 一级教师
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